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Transformacoes trigonometricas.
Transformacoes trigonometricas sao as formulas que facilitam o calculo das razoes trigonometricas seno, cosseno e tangente da soma, do arco duplo, entre outras situacoes.
Conhecemos como transformacoes trigonometricas as formulas que facilitam o calculo do valor de seno, cosseno e tangente para a soma e a diferenca entre arcos, a resolucao de problemas envolvendo arco duplo, e a reescrita de uma adicao de razoes trigonometricas como um produto.
Com as transformacoes trigonometricas, e possivel aumentar o numero de valores conhecidos para as razoes trigonometricas , pois, com base nos dois arcos conhecidos, e possivel encontrar o valor do seno, cosseno e tangente da soma ou da diferenca entre os angulos conhecidos por meio das transformacoes trigonometricas. As principais transformacoes trigonometricas sao a soma e a diferenca entre arcos, as formulas para arco duplo, e as transformacoes em produtos.
Topicos deste artigo.
Resumo sobre as transformacoes trigonometricas.
As transformacoes trigonometricas sao formulas que facilitam nos calculos de razoes trigonometricas para alguns arcos.
Utilizamos as transformacoes trigonometricas para calcular o seno, o cosseno e a tangente da soma e da diferenca de dois arcos.
O que sao as transformacoes trigonometricas?
Conhecemos como transformacoes trigonometricas as formulas utilizadas para encontrar o valor das razoes trigonometricas de seno, cosseno e tangente , em alguns casos particulares, para a soma ou diferenca entre dois arcos, em um arco duplo, e tambem para a transformacao da adicao ou da diferenca entre arcos em um produto entre arcos.
Formulas das transformacoes trigonometricas.
Vejamos, a seguir, as formulas das transformacoes trigonometricas.
Soma e diferenca de dois arcos.
Para calcular a soma ou a diferenca entre dois arcos trigonometricos, utilizamos as formulas:
sen(a + b) = sen(a) · cos (b) + sen (b) · cos (a)
2) seno da diferenca:
sen(a - b) = sen(a) · cos (b) - sen (b) · cos (a)
3) cosseno da soma:
cos(a + b) = cos(a) · cos (b) - sen (a) · sen (b)
4) cosseno da diferenca:
cos(a - b) = cos(a) · cos (b) + sen (a) · sen (b)
5) tangente da soma:
6) tangente da diferenca:
Exemplo:
Durante a medicao de determinados angulos, encontrou-se as medidas de 50? e 30?, e, calculado o valor do seno e do cosseno desses angulos, temos:
Com base nesses dados, calcule:
a) sen 80?.
Sabemos que 80? = 30 + 50?, entao, temos que:
sen(80?) = sen(30? + 50?)
Utilizando a formula do seno da soma, temos que:
sen(a + b) = sen(a) · cos(b) + sen(b) · cos(a)
sen(30° + 50°) = sen(30°) · cos(50?) + sen(50°) · cos(30°)
sen(80?) = 0,50 · 0,64 + 0,77 · 0,87.
sen(80°) = 0,32 + 0,6699.
b) cos (20?)
Sabemos que 20? = 50? - 30?, entao, temos que:
cos 20? = cos (50? - 30?)
Utilizando a formula para o cosseno da diferenca, temos que:
cos(a - b) = cos(a) · cos (b) + sen (a) · sen (b)
cos(50° - 30°) = cos(50°) · cos (30°) + sen (50°) · sen (30°)
cos(20°) = 0,64 · 0,87 + 0,77 · 0,50.
cos(20°) = 0,64 · 0,87 + 0,77 · 0,50.
cos(20?) = 0,5568 + 0,385.
Arco duplo.
Encontramos as formulas para o arco duplo quando vamos realizar a soma de dois arcos iguais :
1) seno do arco duplo:
sen(2a) = 2sen(a) · cos(a)
2) cosseno do arco duplo:
cos(2a) = cos(a)? - sen(a)?
3) tangente do arco duplo:
Exemplo:
Sabendo que tg 20? = 0,47, entao, calcule o valor da tg 40?.
Sabemos que 40° = 2 · 20°, entao, utilizando a formula da tangente do arco duplo, temos que:
Transformacao em produto.
Com as formulas a seguir, e possivel transformar a soma ou a diferenca entre as razoes trigonometricas como um produto.
Exercicios resolvidos sobre transformacoes trigonometricas.
Questao 1 - Utilizando os angulos notaveis, o valor cos 15? e:
Resolucao.
Sabemos que 15? = 45? - 30?.
Entao, temos que:
Questao 2 - (Unifenas) Sendo dados sen(x) = 0,8 e cos(x) = 0,6, qual e o valor do sen(2x)?
Resolucao.
Utilizando a formula do arco duplo:
sen(2x) = 2sen(x) · cos(x)
Substituindo os valores conhecidos:
sen(2x) = 2 · 0,8 · 0,6.
Por Raul Rodrigues de Oliveira Professor de Matematica.
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